Il est considéré comme un pionnier de la fusion entre jazz et musique électronique, avec son album Khmer, sorti en 1998 sur le label ECM.

Molvær est né et a grandi sur l'île de Sula. A l'age de dix-neuf ans, il part étudier au conservatoire de Trondheim.

Il rejoint Arild Andersen, Jon Christensen et Tore Brunborg dans le groupe Masqualero, qui tire son nom d'une composition de Wayne Shorter enregistrée originellement par Miles Davis. Ils enregistreront plusieurs albums pour ECM.

Molvær enregistrera avec d'autres artistes de chez ECM avant d'entamer une carrière solo avec son album Khmer, en 1997. Cet album est un assemblage de jazz, de rock, et de musique électronique, qui tranchait avec le jazz feutré associé à l'image d'ECM[1].

Molvaer utilise souvent une sourdine, ce qui rappelle parfois le son de Miles Davis entre les années 1970 et 1980, mais sans en être une copie conforme. Pour la première fois de son histoire, ECM réalisa des singles : Song of Sand, comportant en outre trois remixes, et Libotage. Un second album, Solid Ether, sort en 2000, après quoi Molvær quitte ECM. Il a enregistré d'autres albums depuis, notamment NP3 en 2002 et Er en 2005, et a produit des films et des pièces de théâtre.